A={x|x=a+√2 b , a、b属于Z} 当a、b互质时，若A中的元素x的倒数也是A的元素，试求a、b之间的关系

设x=a+√2 b属于A，则
1/x=1/（a+√2 b）=（a-√2 b）/(a^2-2b^2)也属于A，从而a／(a^2-2b^2)，-b/(a^2-2b^2)都是整数，即a，b都能被（a^2-2b^2）整除.又因为（a,b）=1,所以1能被（a^2-2b^2）整除，即a^2-2b^2=1或a^2-2b^2=-1

注1：（a,b）=1也就是说a和b的最大公约数是1，因为a，b都能被（a^2-2b^2）整除，所以（a^2-2b^2）能整除a和b的最大公约数，即1能被（a^2-2b^2）整除

注2：（a,b）=1等价于，存在整数u，v使得au+bv=1.因为上式中左边a，b都能被（a^2-2b^2）整除,所以右边的1也能被（a^2-2b^2）整除.
注3：a^2-2b^2=1或a^2-2b^2=-1是数论里的一种不定方程，叫Pell方程（佩尔方程），要想解出具体的a，b的所有整数解，就可以解这个方程.

x的倒数为
1/a+√2 b＝（a－√2 b）/(a^2-2 b^2)
由条件知A是一整数与一个无理数的整数倍和
又 x的倒数也是A的元素
则 x的倒数也为一整数与一个无理数的整数倍和
则 上式的分母a^2-2 b^2＝1

得a^2＝2 b^2+1
且b不为0也不为1

设x=a+√2 b属于A，则
1/x=1/（a+√2 b）=（a-√2 b）/(a^2-2b^2)也属于A，从而a／(a^2-2b^2)，-b/(a^2-2b^2)都是整数，即a，b都能被（a^2-2b^2）整除.又因为（a,b）=1,所以1能被（a^2-2b^2）整除，即a^2-2b^2=1或a^2-2b^2=-1